Сегодня наш урок посвящен решению задач по МКТ. Для тех кто пропустил урок во вторник, рекомендую изучить параграфы 66 и 67.
Обратим внимание на то, что в задачах, как правило, имеется в виду средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул. Связь этой скорости с макропараметрами, такими, как давление и температура, и устанавливает основное уравнение молекулярно-кинетической теории.
При решении задач этой главы используются формула (9.13), определяющая абсолютную температуру, формула (9.16), связывающая энергию беспорядочного движения с температурой, и формула (9.19) для средней квадратичной скорости молекул. Некоторые задачи удобно решать, используя формулу (9.17). Для расчётов надо знать значение постоянной Больцмана (9.14).
Рассмотрим примеры решения задач (рекомендую оформить решения в тетрадях (у кого есть в наличии))
Задача 1. Чему равно отношение произведения давления газа на его объём к числу молекул при температуре t = 300 °С?
Р е ш е н и е. Согласно формуле (9.13) pV/N = kT, где k = 1,38 х 10-23 Дж/К — постоянная Больцмана. Так как абсолютная температура Т = t + 273 (К) = 573 К, то pV/N = 7,9 • 10-21 Дж.
Задача 2. Определите среднюю квадратичную скорость молекулы газа при 0 °С. Молярная масса газа М = 0,019 кг/моль.
Р е ш е н и е. Средняя квадратичная скорость молекул вычисляется по формуле (9.19). Учитывая, что m0 = M/NA и Т = 273 К, получим
Задача 3. Некоторое количество водорода находится при температуре Т1 = 200 К и давлении р1 = 400 Па. Газ нагревают до температуры Т2 = 10 000 К, при которой молекулы водорода практически полностью распадаются на атомы. Определите значение давления р2 газа при температуре Т2, если его объём и масса остались без изменения.
Р е ш е н и е. Согласно формуле (9.17) давление газа при температуре Т1 равно р1 = n1kT1, где n1 — концентрация молекул водорода.
При расщеплении молекул водорода на атомы число частиц в сосуде увеличивается в 2 раза. Следовательно, концентрация атомов водорода равна n2= 2n1. Давление атомарного водорода р2 = n2kT2 = 2n1kТ2.
Разделив почленно второе уравнение на первое, получим
Задача 4. В опыте Штерна источник атомов серебра создаёт узкий пучок, который падает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью ω = 314 рад/с. Определите скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол φ = 0,314 рад от первоначального положения.
Р е ш е н и е. Угол, на который отклонилось пятно, φ = ωt, средняя скорость атомов серебра
Выразив из первого уравнения время t и подставив во второе, получим 
Задача 5. Средняя энергия молекулы идеального газа
Давление газа р = 4 мПа. Определите число молекул газа в единице объёма.
Р е ш е н и е. Средняя энергия поступательного движения молекул идеального газа
Давление р = nkT, где n — концентрация молекул, k — постоянная Больцмана и Т — абсолютная температура газа. Решая совместно эти два уравнения, получаем
Задача 6. Откачанная лампа накаливания объёмом V = 10 см3 имеет трещину, в которую проникает ΔN = 106 частиц газа за время Δt = 1 с. Сколько времени понадобится, чтобы в лампе установилось нормальное давление (р0 = 1,013 • 105 Па)? Температура 0 °С.
Р е ш е н и е. Определим, сколько молекул газа N0 должно быть в лампе при нормальном давлении: N0 = n0V, где n0 — концентрация молекул, определяемая из уравнения р0 = n0kT, n0 = p0/kT.
Число молекул будет равно N0 = n0V = p0V/kT.
Следовательно, считая скорость проникновения молекул в сосуд постоянной, определим t:
t = 8,53 • 106 лет.
Обратим внимание на то, что в задачах, как правило, имеется в виду средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул. Связь этой скорости с макропараметрами, такими, как давление и температура, и устанавливает основное уравнение молекулярно-кинетической теории.
При решении задач этой главы используются формула (9.13), определяющая абсолютную температуру, формула (9.16), связывающая энергию беспорядочного движения с температурой, и формула (9.19) для средней квадратичной скорости молекул. Некоторые задачи удобно решать, используя формулу (9.17). Для расчётов надо знать значение постоянной Больцмана (9.14).
Рассмотрим примеры решения задач (рекомендую оформить решения в тетрадях (у кого есть в наличии))
Задача 1. Чему равно отношение произведения давления газа на его объём к числу молекул при температуре t = 300 °С?
Р е ш е н и е. Согласно формуле (9.13) pV/N = kT, где k = 1,38 х 10-23 Дж/К — постоянная Больцмана. Так как абсолютная температура Т = t + 273 (К) = 573 К, то pV/N = 7,9 • 10-21 Дж.
Задача 2. Определите среднюю квадратичную скорость молекулы газа при 0 °С. Молярная масса газа М = 0,019 кг/моль.
Р е ш е н и е. Средняя квадратичная скорость молекул вычисляется по формуле (9.19). Учитывая, что m0 = M/NA и Т = 273 К, получим
Задача 3. Некоторое количество водорода находится при температуре Т1 = 200 К и давлении р1 = 400 Па. Газ нагревают до температуры Т2 = 10 000 К, при которой молекулы водорода практически полностью распадаются на атомы. Определите значение давления р2 газа при температуре Т2, если его объём и масса остались без изменения.
Р е ш е н и е. Согласно формуле (9.17) давление газа при температуре Т1 равно р1 = n1kT1, где n1 — концентрация молекул водорода.
При расщеплении молекул водорода на атомы число частиц в сосуде увеличивается в 2 раза. Следовательно, концентрация атомов водорода равна n2= 2n1. Давление атомарного водорода р2 = n2kT2 = 2n1kТ2.
Разделив почленно второе уравнение на первое, получим
Задача 4. В опыте Штерна источник атомов серебра создаёт узкий пучок, который падает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью ω = 314 рад/с. Определите скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол φ = 0,314 рад от первоначального положения.
Р е ш е н и е. Угол, на который отклонилось пятно, φ = ωt, средняя скорость атомов серебра
Выразив из первого уравнения время t и подставив во второе, получим Задача 5. Средняя энергия молекулы идеального газа
Давление газа р = 4 мПа. Определите число молекул газа в единице объёма.Р е ш е н и е. Средняя энергия поступательного движения молекул идеального газа
Давление р = nkT, где n — концентрация молекул, k — постоянная Больцмана и Т — абсолютная температура газа. Решая совместно эти два уравнения, получаемЗадача 6. Откачанная лампа накаливания объёмом V = 10 см3 имеет трещину, в которую проникает ΔN = 106 частиц газа за время Δt = 1 с. Сколько времени понадобится, чтобы в лампе установилось нормальное давление (р0 = 1,013 • 105 Па)? Температура 0 °С.
Р е ш е н и е. Определим, сколько молекул газа N0 должно быть в лампе при нормальном давлении: N0 = n0V, где n0 — концентрация молекул, определяемая из уравнения р0 = n0kT, n0 = p0/kT.
Число молекул будет равно N0 = n0V = p0V/kT.
Следовательно, считая скорость проникновения молекул в сосуд постоянной, определим t:
t = 8,53 • 106 лет.
Задачи для самостоятельного решения:
